¿Qué número sigue? (5 pts)

23, 19, 17, 13, 11, 7

Los numéros primos en decreciente!

Tablero de ajedrez (5 pts)

Samuel tiene un tablero de ajedrez de 3 filas y 3 columnas. Samuel puso un grano de arroz en la primera celda, 3 en la segunda, 9 en la tercera y así sucesivamente triplicando en cada celda. Cuántos granos de arroz puso en total (en las 9 casillas)?

Podemos hacer el cálculo sumando y multiplicando: $3^0 + 3^1 + ... + 3^8$ esto es equivalente a calcular $\frac{3^9-1}{3-1}$.

Más generalmente, podemos calcular la suma de $a^0+a^1+...+a^n$ usando el siguiente truco

$S = a^0+a^1+...+a^n$

movemos la secuencia hacia la derecha

$S \cdot a=a^1+a^2+...+a^{n+1}$

restamos las dos expresiones:

$S \cdot a - S = a^{n+1}-a^0$

$S = \frac{a^{n+1}-a^0}{a-1}$

Jugando con piedritas (5 pts)

Samuel y Feliza estan jugando con piedritas. Hay dos filas, ambas con 7 piedritas.

Samuel y Feliza alternan turnos, Samuel mueve primero, luego Feliza y así sucesivamente. En cada turno el jugador que le toca puede seleccionar una de las filas y quitar un número positivo (mayor a cero) de piedritas.

El jugador que no pueda sacar piedritas pierde. Si ambos juegan óptimamente quién gana?

La estrategia óptima para Feliza es copiar los movimientos de Samuel en la fila opuesta. Por ejemplo, si Samuel quita 3 piedritas de la segunda fila, Feliza quitará 3 piedritas en la primera fila.

Sin importar lo que mueva Samuel, siempre dejará a las filas con un número distinto de piedritas, el segundo jugador en su turno reestablece el invariante al hacer que las dos filas nuevamente tengan la misma cantidad de piedritas.

Cuando ya no haya piedritas que eliminar, será el turno de Samuel por que ambas filas tendrán la misma cantidad (0) de piedritas.

6 participantes obtuvieron score perfecto durante la primera semana de la competencia.